Синусоидальная природа простого гармонического движения

Физика > Синусоидальная природа простого гармонического движения

Рассмотрите распространение синусоидальных волн в простом гармоническом движении: закон Гука и синусоиды, уравнения для движения, графики синусоидальных волн.

Расчеты формул движения простых гармонических осцилляторов всегда выступают синусоидальными.

Задача обучения

• Проанализировать факторы, ответственные за синусоидальное поведение кругового перемещения.

Основные пункты

• В случае с простыми гармоническими осцилляторами формулы движения всегда выступают дифференциальными второго порядка, объединяющие ускорение и смещение.
• Решение дифференциального уравнения всегда выводит на синусоидальные результаты. К примеру, x (t), v (t), a (t), K (t) и U (t) располагают синусоидальными решениями для простого гармонического движения.
• Равномерное круговое движение также выступает синусоидальным, потому что его проекция ведет себя как гармонический осциллятор.

Термин

• Синусоидальные волны – в форме волны, где амплитуда выступает пропорциональной синусу переменной.

Почему синусоидальные волны так распространены?

Если построить системы массы на пружинке в виде графика, то он предстал бы в идеальной синусоидальной форме (на рисунке). Удивительно, но огромное количество лишенных связи вибрационных систем демонстрируют одинаковую математическую особенность. Есть главное условие – амплитуда движения должна быть небольшой.

Закон Гука и генерация синусоиды

Чтобы разобраться в вибрации тела, важно понимать, что сила зависит от позиции объекта. Если система подчиняется закону Гука, то восстанавливающая сила расположится в пропорциональном направлении смещению. Формула для расчета:

Отсюда вытекает решение для позиции, скорости и ускорения:

Все они принадлежат к синусоидальным решениям. Давайте присмотримся к массе на пружинке, где маленькая ручка перемещается по смещающейся полосе бумаги.

Уравнения можно переписать для конкретного случая:

Проекцию равномерного кругового движения можно описать как и гармонический осциллятор. Поэтому оно выступает синусоидальным.

Мгновенная энергия простого гармонического движения

Уравнения можно объединить с синусоидальным расчетом для x(t), v(t) и a(t), чтобы смоделировать перемены кинетической и потенциальной энергий.

Кинетическая энергия K в момент t:

Для потенциальной U:

Если их прибавить, то получим общую механическую энергию:

---