Волновое уравнение движущейся волны

Физика > Математическое отображение движущейся волны

 

Волновое уравнение – математическая формула движения волны. Рассмотрите, как вывести решение волнового уравнения, вид уравнения, граничные условия, примеры.

Наиболее общее волновое уравнение  задается как u(x, t) = f (x + ct) + g (x - ct), где f и g – произвольные функции.

Задача обучения

• Вывести решение для волнового уравнения перемежающейся волны.

Основные пункты

• Любая функция u(x, t), подходящая к условию , выступает решением волнового уравнения. Для этого были введены новые переменные φ = x - ct, ψ = x + ct.
• Решения 1D-волнового уравнения – суммы левой и правой движущихся функций.
• Волновая функция также вычисляется путем получения дополнительной информации, обычно заданной граничными условиями.

Термины

• Волновое уравнение – линейной уравнение частных производных второго порядка для описания различных типов волн.
• Граничное условие – набор ограничений на границах, используемых в дифференциальных уравнениях.

Чаще всего, для одномерных волн используют уравнение:

Например, синусоидальная форма u(x, t) = A sin(kx - ωt) выступает решением волнового уравнения для с = ω/k.

Решение волнового уравнения

Отметим, что любая функция u(x, t), подходящая к условию   , выступает решением волнового уравнения. Так что обратите внимание на

В середине мы использовали первое уравнение. Теперь вставим новые переменные φ = x - ct, ψ = x + ct и получим:

При смене переменных ∂u+/∂φ = 0 для уравнения со знаком «+» и ∂u-/∂ψ = 0 для знака «-». Поэтому мы видим, что

u₊(φ,ψ) = f(ψ), u_- (φ, ψ) = g(φ), где f и g – произвольные функции. Возвращаясь к исходным переменным x и t, выводим, что решение волнового уравнения:

u (х, t) = f (х + ct) + g (х - ct).

Мы видим, что решение для 1D-волнового уравнения отображает сумму левой (f) и правой (g) перемещающихся волн. Движение означает, что форма их отдельных произвольных функции по х остается стабильной, а вот время и скорость – нет.

Граничное условие

Любая функция с «x + ct» или «x - ct» может выступать решением волнового уравнения. Также можно вычислить при помощи дополнительной информации в виде граничного условия. Например, если речь идет о гитарной струне, то мы знаем, что волна обладает нулевой амплитудой на обоих концах: u (x = 0) = u (x = L) = 0.

Решение волнового уравнения в двух измерения с граничным условием нулевого смещения вдоль всего внешнего края.

---