Энергия в простом гармоническом осцилляторе

Физика > Энергия в простом гармоническом осцилляторе

 

Как представлена энергия гармонического осциллятора. Читайте значение кинетической и потенциальной энергии в гармоническом осцилляторе, формула постоянной.

Полная энергия в простом гармоническом осцилляторе выступает неизменной суммой потенциальных и кинетических энергий.

Задача обучения

• Выяснить, почему полная энергия гармонического осциллятора выступает неизменной.

Основные пункты

• Сумма кинетической и потенциальной энергий в гармоническом осцилляторе выступает неизменной: KE + PE = постоянная. Энергия проходит сквозь колебания вперед и назад между кинетической и потенциальной.
• В системе с пружинами формула для сохранения: 0.5 mv² + 0.5 kx² = постоянная = 0.5 kX² (X – максимальное смещение).
• На максимальную скорость влияют амплитуда, коэффициент жесткости и масса:

Термины

• Диссипативные силы – приводят к трате энергии в перемещающейся системе.
• Эластичная потенциальная энергия – сберегается в деформируемом теле (вроде пружины).

Энергия в простом гармоническом осцилляторе

Сначала рассмотрим все возможные формы энергии. Потенциальная энергия сохраняется в пружине и подчиняется закону Гука:

PE = 0.5 kx² (PE – потенциальная энергия, k – постоянная пружины, x – величина смещения или деформации). Простой гармонический осциллятор лишен диссипативных сил, поэтому еще одна примечательная форма энергии – кинетическая (KE). Сохранение энергии для двух форм:

КА + PE = постоянная, что можно перевести в:

0.5 mv² + 0.5 kx² = постоянная.

Эта формула применима для всех простых гармонических осцилляторов. Например, заменим скорость на v = Lω, постоянную пружины на k = mg/L и перемещение x = Lθ. Выходит:

0.5 mL²ω² + 0.5 mgLθ² = постоянная.

Если столкнулись со стабильным простым гармоническим движением, то энергия будет колебаться между кинетической и потенциальной. Движение начинается с общей энергии пружины. По мере движения эластичная потенциальная энергия трансформируется в кинетическую. Затем та повторяет процесс и становится эластичной потенциальной.

Трансформация энергии в простом гармоническом движении показана для прикрепленного к пружине тела (лишено трения). (а) – Масса достигла максимального смещения от точки баланса (потенциальная энергия). (b) – Когда масса проходит точку баланса с максимальной скоростью, вся энергия – кинетическая. (с) – Энергия снова потенциальная, сохранена в сжатой пружине. (d) – Повторный проход через точку баланса (кинетическая). (е) – Завершение цикла

Принцип энергетического сохранения можно применить для того, чтобы добыть формулу для скорости (v). Если начать с нулевой скорости и максимального смещения, то

Е = 0.5 kX².

Эта полная энергия неизменна и смещается вперед и назад между двумя энергиями. Используем формулу:

0.5 mv² + 0.5 kx² = 0.5 kX².

Решение этого уравнения для v:

Далее выводим:

отсюда:

где:

Здесь видим, что скорость достигает максимума при х = 0. Отметьте, что на максимальную скорость влияют три фактора. Выступает в прямой пропорциональности амплитуде. Чем больше показатель максимального смещения, тем выше максимальная скорость. Это лучше работает для жестких систем, потому что они прикладывают намного больше силы. Максимальная скорость меньше для тел с крупными массами, потому что она находится в обратной пропорциональности квадратному корню m.

Точно такие же вычисления для простого маятника:

---