Простой маятник

Физика > Простой маятник

 

Рассмотрите, как выглядит и работает простой маятник. Читайте про роль амплитуды в колебаниях, гармонический осциллятор, диаграмма маятника, уравнения.

Простой маятник функционирует как гармонический осциллятор с периодом, основывающемся на L и g при достаточно небольших амплитудах.

Задача обучения

• Вычислить влияющие на период простого маятника параметры.

Основные пункты

• Простой маятник – объект с небольшой массой, подвешенной проволокой или пружиной.
• В момент смещения маятник запускает колебания вокруг точки баланса из-за присутствующего импульса и восстанавливающей силы тяжести.
• При малых амплитудах (меньше 15^о) маятник функционирует как простой гармонический осциллятор с периодом , (L – длина струны, g – ускорение силы тяжести).

Термин

• Простой маятник – гипотетический маятник, представленный взвешенным невесомой нитью весом.

Пример

Каким будет ускорение силы тяжести, где у простого маятника с длиной 75000 см период составляет 1.7357 с. То есть, нам нужно выявить g при периоде и длине. Можно использовать известную формулу и предположить, что угол меньше 15^о. Берем квадрат и решаем для Такой метод очень точный. Поэтому длина и период указаны пятью цифрами.

Маятник – подвешенный к стержню груз, способный свободно качаться. Когда он смещается в сторону, то подвергается восстановительной силе. Достигнув наивысшей точки, гравитация заставляет его вернуться в точку баланса. Восстанавливающая сила и масса маятника приводят к тому, что он смещается взад и вперед

Простой маятник

У него есть грузики небольшого диаметра и нить с крошечной массой (ее хватает, чтобы не растягиваться). Линейное смещение из точки баланса приравнивается к длине дуги. Также отображены силы, влияющие на грузик. Они приводят к чистой силе -mgsinθ.

Для небольших смещений маятник отображает простой гармонический осциллятор. Это объект с небольшой массой, подвешенной на проволоку или нить. Если рассмотреть его получше, то заметим условия, при которых ему удается осуществлять простое гармоническое движение, где можно вычислить период.

Давайте сначала определим смещение для длины дуги (s). На рисунке заметно, что чистая сила соприкасается с дугой и равна -mgsinθ. Напряжение в нити отменяет компонент mgсоsθ, находящийся параллельно нити. Из-за этого чистая восстанавливающая сила существует при θ = 0.

Сейчас видно, что восстанавливающая сила расположена в прямой пропорциональности смещению, а мы получаем простой гармонический осциллятор. Чтобы вычислить, так ли это, отмечаем, что при небольших углах (меньше 15^о) sinθ = 0. Поэтому F:

F ≈ -mgθ.

Вытеснение s находится в прямой пропорциональности θ. Когда θ передается в радианах, длина дуги в круге связана с его радиусом (L в этом случае):

s = Lθ, так что

θ = s/L.

При малых углах выражение для восстанавливающей силы:

F ≈ mgL/s.

Это выражение передается в форме закона Гука:

F ≈ -кх (постоянная силы задается k = mg/L, а смещение – x = s). Для углов менее 15^о восстанавливающая сила прямо пропорциональна смещению, а простой маятник – гармонический осциллятор.

Используя это уравнение, можно вычислить период маятника для амплитуд менее 15°. Для простого маятника:

Подобные выводы полезны из-за простоты. На период влияет только длина и ускорение. Можно с максимальной точностью отрегулировать даже простые маятниковые часы. Если длина маятника известна, то можно использовать ее для вычисления ускорения силы тяжести. Если θ меньше 15^о, период T почти не зависит от амплитуды. Тогда движение маятника:

θ (t) = θ_ocos (2пt/T )

Для амплитуд, превышающих 15^о, период постепенно увеличивается, поэтому длиннее, чем заданное простым уравнением для T выше. К примеру, при амплитуде θ₀ = 23° на 1% больше. Период увеличивается асимптотически (до бесконечности), поскольку θ₀ приближается к 180°.

---