Простое гармоническое и равномерное круговое движения

Физика > Простое гармоническое и равномерное круговое движения

 

Читайте про простое гармоническое движение в равномерном движении тела по окружности: описание, центростремительное ускорение, скорость и направление, формулы.

Простое гармоническое движение формируется проекцией равномерного кругового на одной из осей плоскости x-y.

Задача обучения

• Охарактеризовать связь между простым гармоническим и равномерным круговым движениями.

Основные пункты

• В равномерном движении по окружности описывается перемещение тела по круговой траектории со стабильной скоростью. Одномерной проекцией этого процесса выступает простое гармоническое движение.
• Вектор скорости всегда касается кругового пути и постоянен по величине. Ускорение также стабильно и указывает на центр, выступающий перпендикулярным вектору скорости во все временные промежутки.
• Если тело перемещается с угловой скоростью вокруг окружности в начале плоскости x-y, то его перемещение выступает простым гармоническим движением с амплитудой (r) и угловой скоростью (ω).

Термин

• Равномерное движение по окружности – перемещение по круговой траектории со стабильной скоростью.
• Центростремительное ускорение – заставляет тело двигаться по кривой траектории. Всегда расположено перпендикулярно скорости тела и стремится к центру кривизны.

Равномерное круговое движение

Оно характеризует перемещение тела по круговой траектории со стабильной скоростью. Дистанция объекта к центру круга всегда остается неизменной. Если скорость объекта постоянна, то векторная нет. Тело меняет направление, поэтому меняется и скорость. Она указывает на присутствие ускорения – центростремительное. У него есть постоянная величина и оно стремится попасть в центр круга. Формируется центростремительной силой.

Скорость

На нижнем рисунке отображены векторы скорости и ускорения для равномерного движения по окружности в четырех различных точках орбиты. Скорость (v) соприкасается с круговым путем, поэтому две скорости не будут указывать в одном направлении. Хотя скорость постоянна, но направление все время меняется. Подобное возникает из-за ускорения, чьи точки в радиальном направлении находятся перпендикулярно скорости. Это центростремительное ускорение.

Скорость (v) и ускорение (a) в равномерном круговом движении с угловой скоростью (ω). Скорость стабильна, но всегда соприкасается с орбитой. Величина ускорения постоянна, но всегда указывает на центр вращения

Смещение вокруг кругового пути часто отображается в терминах угла (θ). Это угол, образованный между прямой линией, исходящей из центра угла до исходной позиции тел на краю и прямой линии. Угол описывает дальность движения.

Перемещающаяся по круговой траектории точка Р со стабильной угловой скоростью (ω) испытывает на себе действие равномерного кругового движения. Также отображена скорость точки вокруг круга и проекция, приравнивающаяся к v. Заметьте, что эти скорости формируют аналогичный треугольник фигуре смещения

Для пути вокруг радиуса (r), когда угол (θ) смещен, преодоленная по краю дистанция достигает s = rθ. Это можно вывести самостоятельно: окружность равна 2*pi*r, поэтому если объект смещается по всему кругу, то пройдет через угол радиуса 2pi и преодолеет дистанцию 2pi*р. Поэтому скорость движения по орбите:

(угловая скорость вращения равна ω). Получается, v – константа, а вектор скорости v также вращается со стабильной величиной при той же угловой скорости ω.

Ускорение

Ускорение при равномерном движении по окружности всегда направлено внутрь и вычисляется как:

Ускорение меняет направление, но не скорость

Простое гармоническое движение из равномерного движение по окружности.

Есть очень легкий метод вывести простое гармоническое движение из равномерного кругового. На рисунке отображен один из них. Шарик фиксируют к равномерно вращающемуся вертикальному столу, чья тень проецируется на пол. Она и выполняет простое гармоническое движение.

Тень шара, совершающая обороты со стабильной угловой скоростью на поворотном столе, перемещается вперед и назад в простом гармоническом движении

Здесь видна главная зависимость между исследуемыми движениями. Точка Р смещается вокруг круга с неизменной угловой скоростью. Она соответствует шару на поворотном столе. Проекция Р на лишенную активности ось выполняет простое гармоническое движение и соответствует тени тела.

Чтобы удостовериться, что проекция осуществляет простое гармоническое движение, отметим, что позиция х задается как:

х = Xcosθ (θ = ωt, ω – постоянная угловая скорость, X – радиус круговой траектории). Выходит, что

х = Xcosωt.

В этом случае 2π радиан – время для одного вращения T. То есть ω = 2π/T. Подставим в выражение:

х (t) = cos(2πt/T) = сos(2πft).

---