Позиция, скорость и ускорение как временная функция

Физика > Позиция, скорость и ускорение как временная функция

 

Рассмотрите механические и электромагнитные волны: как выглядит форма волны и что ее определяет, что такое волна, волновое уравнение и формула, типы волны.

Волна – колебание в пространстве, сопровождающееся транспортировкой энергии.

Задача обучения

• Разобраться в механических и электромагнитных волнах.

Основные пункты

• В волновом уравнении времени вторая временная производная должна выступать пропорциональной второй пространственной производной.
• Волновые формирования характеризуют формы физических волн и способны становиться любой повторяющейся в пространстве функцией.
• Одна из наиболее распространенных форм волны – синусоида. Так как форму арбитража можно сгенерировать через добавление синусоидальных волн, управляемую волной произвольной формы, физику можно описать при помощи синусоидальных компонентов.

Термины

• Форма волны – форма физической волны, вроде звукового или электромагнитного излучения. Может быть любой повторяющейся в пространстве функцией.
• Анализ Фурье – изучение представления общих функций или аппроксимация суммами более простых тригонометрических функций.

Обзор

Волна – колебание в пространстве, во время которого транспортируется энергия. Волновое движение передает энергию из одной точки в другую. Очень часто это происходит без смещения частичек среды. Это колебания или вибрации в почти фиксированных местах. Важно различать два главных волновых типа.

Механические волны путешествуют сквозь среду, чье вещество подвергается деформации. Деформация видоизменяет себя из-за восстановления сил, создающихся в момент этой самой деформации.

Электромагнитные волны не нуждаются в среде (хотя способы распространяться сквозь нее). Это периодические колебания в электрических и магнитных полях, создаваемые заряженными частичками, поэтому способны сбегать сквозь вакуум.

Волновое уравнение

Что определяет форму волны? Форма волны способна принимать форму любой функции, повторяющейся над определенным пространственным масштабом (λ). Чаще всего, волны выступают скалярными функциями (u), выраженные в уравнении:

То есть, ускорение формы волны выступает пропорциональным лапласианской (справа) той же волной формы. Постоянная пропорциональности (с²) – квадрат скорости распространения волны.

Перед вами несколько простых форм сигнала. Форма волны – повторяющаяся в пространстве функция

Синусоидальная волна

На картезианской плоскости отображена функция синуса. Здесь угол х задается в радианах (π = 180°)

Давайте взглянем на одну из наиболее распространенных осциллограмм – синусоиду. Общая форма такой волны:

y (x, t) = Asin (kx - ωt + φ), где A – амплитуда волны, ω – угловая частота, k – волновое число, а φ – фаза синусоидальной волны, приведенной в радианах. Этот сигнал указывает на позицию смещения («y») частицы в среде от ее равновесия как функцию позиции «x» и времени «t».

Это уравнение справедливо для с = ω/k, которое также воспринимают как фазовая скорость волны. Чтобы отыскать скорость частички в среде при х и t, используем временную производную формы волны и получим:

Если вам необходимо вычислить ускорение смещенной частички в среде при x и t, то также возьмите вторую производную:

Внимательнее рассмотрите фазовое соотношение между тригонометрическими функциями по y (x, t), y'(x, t), y''(x, t). Если смещение частичек выступает максимальным или минимальным, то скорость = 0. В случаях, где смещение = 0, скорость – максимальная или минимальная.

Произвольная волна

Мы рассмотрели синусоидальную волну. Как же обстоят дела с волнами общей формы? Вся суть в том, что волновое уравнение выступает линейным и остается стабильным при перемещении в пространстве и времени. Волну с произвольной формой можно представить суммой множества синусоидальных волн, поэтому у нас есть возможность создать огромное количество вариантов решений волнового уравнения.

---