Гравитационное притяжение сферических тел: однородная сфера

Физика > Гравитационное притяжение сферических тел: однородная сфера

Согласно теореме оболочки, сферически-симметрический объект влияет на остальные объекты, так как вся его масса сконцентрирована в центральной части.

Задача обучения

• Сформулировать теорему оболочки для сферически-симметрических тел.

Основные пункты

• Сила – векторная величина, поэтому векторное суммирование всех частей оболочки вносит вклад в чистую силу, которая эквивалентна одному измерению силы, взятому из центра сферы.
• Гравитация на объекте в полой сферической оболочке приравнивается к нулю.
• Гравитация в однородной сферической массе линейно пропорциональна его дистанции от центра масс сферы.

Термин

• Центр масс – единственная точка в центре распределения массы в пространстве, где векторы приравниваются к нулю.

Универсальная гравитация для сферически-симметрических тел

Гравитационная сила между двумя точками массы пропорциональна величинам их масс и обратному квадрату их разделения:

Но большая часть объектов не выступают точечными частицами. Чтобы найти гравитацию между трехмерными объектами, необходимо рассматривать их в качестве точек в пространстве. Для симметрических форм, вроде сферы, найти эту точку не составляет труда.

Теорема оболочки

Ее выдвинул Исаак Ньютон, сказавший:

• Сферически-симметрический объект влияет на остальные тела гравитацией, так как вся его масса сконцентрирована в центральной части.
• Если объект выступает сферически-симметрической оболочкой, то чистая гравитационная сила приравнивается к нулю.

Сила считается векторной величиной, поэтому векторное суммирование всех частей сферы составляет чистую силу, эквивалентную одному измерению силы, взятому с центральной части. Поэтому при поиске силы тяжести в 10-килограммовом шарике, измерение берется из центра.

Сферу следует воспринимать как совокупность бесконечно тонких концентрических сферических оболочек (луковые кольца), поэтому сила внутри нее выступает сплошной и зависит лишь от массы сферы внутри радиуса.

При исследовании гравитации следует помнить о двух ситуациях: полый сферический корпус и сплошная сфера.

№1 Полая сферическая оболочка

Гравитация действует как векторное сложение гравитационных сил, влияющих на каждую часть оболочки и приравниваемая к нулю. Масса m в сферически-симметрической оболочке с массой M не будут испытывать никакой чистой силы.

Чистая гравитационная сила – векторная сумма гравитационных сил, влияющих каждой частью оболочки на внешний объект так, словно вся масса сконцентрирована в центре сферы.

№2 Сплошная однородная сфера

Масса M и радиус R влияют на массу m в радиусе d внутри сферы. Вклад всех оболочек сферы в радиус больше d из центра масс сферы можно опустить. Лишь масса сферы в пределах конкретного радиуса M d важна и может рассматриваться как точечная в центре. Гравитация будет равняться:

где можно сказать, что

, где (p – плотность массы сферы).

Поэтому в итоге получаем:

Мы видим, что масса m испытывает силу, линейно пропорциональную ее дистанции (d) от центра масс сферы.

Чистая гравитация в сплошной сфере отображает собою векторную сумму гравитационных сил, действующих каждой оболочкой на внешний объект. Результирующая чистая гравитация влияет так, словно масса М сконцентрирована на точке в центре сферы.

---