Затухание гармонического движения

Физика > Демпфированное гармоническое движение

 

Как происходит затухание колебаний гармонического осциллятора. Изучите коэффициент демпфирования, пример и уравнения для физической ситуации, равновесие.

Пройдет время и движение затухающего гармонического осциллятора уменьшится до остановки.

Задача обучения

• Рассмотреть временную эволюцию перемещения затухающего гармонического осциллятора.

Основные пункты

• Для описания следует добавить зависящий от скорости компонент bx (b – коэффициент порочного демпфирования).
• Решите дифференциальное уравнение для движения x(t).
• На результат влияют коэффициент демпфирование и незатухающая угловая частота. Есть три варианта: затухающая система, над затуханием или критически демпфированная система.

Термины

• Под демпфированием – затухание заставляет осциллятор вернуться к балансу с постепенным сокращением амплитуды к нулю.
• Критическое демпфирование – затухание заставляет осциллятор стремительно вернуться к балансу без колебания вперед и назад.
• Над демпфированием – затухание заставляет осциллятор вернуться к балансу без колебания, но возврат происходит медленнее, чем при критическом варианте.

Пример

Намоченная пружина заставит дверь покачиваться. Закрытие благодаря затухающей пружине потратит намного больше времени, чем при исправности системы. Критически затухающая пружина просто закроет дверь без колебаний.

Физическая ситуация

При помощи простого гармонического осциллятора можно охарактеризовать множество физических систем. Но ранние исследования полагались на идеальные ситуации, в которых исключалось трение. В реальном же мире трение и сила воздуха сопротивляются движению. Иногда они настолько сильны, что умудряются вернуть тело в момент равновесия.

Объект перемещается в простом гармоническом движении. Можно отметить, что при небольшом затухании, со временем его движение уменьшится

Наиболее распространенный случай возникает, когда сила трения находится в пропорциональном направлении скорости тела. Не забывайте, что есть и иные случаи, способные вывести на нелинейные уравнения, не вписывающиеся в конкретный пример.

Допустим, у нас есть объект с массой m, закрепленный на пружинке с постоянной k. Сила затухания располагается в пропорциональном направлении скорости и массы коэффициента демпфирования. Для описания можно воспользоваться вторым законом Ньютона. Добавим силу затухания и получим:

Здесь используют:

 – ускорение тела,

 – скорость тела,

ω₀ – незатухающая угловая частота колебаний, ɣ – коэффициент демпфирования.

Интерпретация результатов

Мы выполняем вычисления для системы x(t):

x(t)=e^at

Введем его в равнение и получим a:

Показатель а повлияет на выбор одного их трех результатов для физической ситуации:

γ² > 4ω²₀  – затухание. Система вернется к балансу экспоненциально убывающей к нулю. Она не пройдет точку баланса больше одного раза.

γ² < 4ω²₀ – демпфирование. Система колеблется при медленном возвращении к балансу, а амплитуда сократится со временем.

γ² = 4ω²₀ – критически демпфированный случай. Система стремительно вернется в точку баланса.

---