Упругие столкновения в нескольких измерениях

Физика > Упругие столкновения в нескольких измерениях

Чтобы решить проблему с двухмерностью в упругом ударе, разбейте скоростные компоненты масс вдоль перпендикулярных осей.

Задача обучения

• Вывести уравнение для упругого столкновения.

Основные пункты

• Если упругое соударение происходит в двух измерениях, то столкнувшиеся массы могут в итоге смещаться сбоку.
• Если вычислить ось х вдоль направления входящей частички, то можно упростить уравнение.
• Чтобы вывести уравнение, нужно сохранить импульс. Можно также создать дополнительное уравнение при помощи сбережения кинетической энергии.

Термины

• Кинетическая энергия – энергия объекта в движении. Приравнивается к половине массы и квадрату скорости.
• Измерение – мера пространственной протяжности в определенном направлении (высота, ширина, глубина и т.д.).
• Импульс – производная массы и скорости.

Обзор

В упругом соударении изначальная кинетическая энергия соответствует финальной. Если речь идет о двух измерениях, то ударные массы могут смещаться сбоку. Необходимо выбрать систему координат, где составляющие скоростей можно распределить вдоль перпендикулярных осей.

Пример

Здесь мы рассмотрим исключительно точечные массы. Внешние силы не имеют влияния над системой, поэтому импульс сохраняется. Одна частичка изначально расположена в стабильном спокойном состоянии.

Перед нами изначальное и финальное положение двух масс, подвергнувшихся упругому удару в двух измерениях

Начнем с того, что вычислим ось х и разобьем на составляющие х и у. Получаем сохранение импульса в направлении х:

Начальный импульс входящей частички p_1x, а неподвижной – p_2x. Финальный импульс входящей – p′_1x, а стабильной – p′_2x.

Можно разложить уравнение с учетом того, что импульс выступает производной массы и скорости. Начальная скорость стабильной частички равна 0. Составляющие вдоль оси х – v⋅cosθ, где θ – угол между вектором скорости и осью x. По формуле получим:

Компоненты вдоль оси у выглядят как v ⋅ sinθ, где θ – угол между вектором скорости и осью х. Получаем:

При поиске третьего уравнения мы учитывали, что входящая частица не располагала компонентом скорости вдоль оси у.

Решение для двух неизвестных

Итак, у нас есть два уравнения, и мы можем найти любые неизвестные. Удар был эластичным, поэтому важно сохранить кинетическую энергию. Тогда выходит:

В решении подобных задач очень важно сохранить импульс. Можно вывести дополнительное уравнение, применив сохранение кинетической энергии.

---