Первый закон Кеплера

Физика > Первый закон Кеплера

Орбитальный путь планет – эллипс с Солнцем, расположенным в одном из фокусов.

Задача обучения

• Применить Первый закон Кеплера, чтобы охарактеризовать планетарное движение.

Основные пункты

• Эллипс отображает закрытую плоскую дугу, напоминающую растянутую окружность. Круг – особый случай, где совпадают обе фокальные точки.
• Вытянутый эллипс известен как эксцентриситет: параметр, способный принимать любое значение, большее или равное 0 (круг) и меньше 1 (стремится к параболе).
• Эллипс можно отобразить в координатах: r = p / (1 + ε • cosθ, где r, θ – полярные координаты для эллипса, ε – эксцентриситет.
• Перигелий – минимальная дистанция от Солнца, определяющаяся как r_min = p / (1+ε). Афелий – наибольшая дистанция к звезде на орбите – r_maх = p / (1-ε)

Термины

• Эксцентриситет – коэффициент вариации между r_min и r_max ε = (r_max-r_min)/(r_max+r_min). Чем больше фокусов, тем сильнее показатель.
• -Перигелий – точка на эллиптической орбите, где объект ближе всего подходит к Солнцу на орбитальном пути. Максимальная удаленность – афелий.
• Полуфокальный параметр – хорда, перпендикулярная большой оси и проходящему через нее фокусу.

Первый закон Кеплера

Вращение планет по орбите происходит в форме эллипса, а звезда расположена на одном из фокусов. Эллипс – замкнутая плоская кривая, напоминающая растянутый круг. Запомните, что Солнце занимает не центральную часть, а фокус. Вторая фокальная точка не обладает физическим значением для орбиты. Центр эллипса отображает середину отрезка линии, объединяющей координационные точки. Круг – совпадение фокальных точек. Нижние рисунки отлично передают формулировку первого закона Кеплера о движении планет по орбите.

(А) – Эллипс выступает замкнутой кривой, поэтому сумма дистанций от точки на кривой к двум фокусам выступает постоянной. Можно нарисовать эллипс, разместив циркуль в каждый фокус и обводя по линии карандашом. Круг появляется, если фокусы совпадают. (В) – В любой замкнутой орбите m следует за эллиптическим путем с M в одном фокусе

Вытянутость эллипса определяется эксцентриситетом (может принимать любое значение). Если он больше или равно 0, то получаем круг, если меньше 1, то стремится к параболе. Эксцентриситеты планет, известных Кеплеру, колебались от 0.007 (Венера) до 0.2 (Меркурий). Крупные показатели можно обнаружить у комет и астероидов. У карликовой планеты Плутон – 0.25.

Эллипс можно записать как:

, где r, θ – полярные координаты для эллипса, ε – эксцентриситет.

Орбита как эллипс

Гелиоцентрическая система координат для эллипса. Здесь видна полуосновная ось (а), полумесячная ось (b) и полуфокальный параметр (p). Для θ = 0°, r = r_min и для θ = 180°, r = r_max.

При θ = 0° перигелий равняется:

r_min = p / (1+ε).

При θ = 90° и при θ = 270° дистанция – p.

При θ = 180° дистанция максимальная:

r_maх = p / (1-ε)

Полуосновная ось a выступает средним арифметическим между минимумом и максимумом:

r_max – a = a – r_min

a = p / (1-ε²)

Полумесячная ось b – среднее геометрической между минимумом и максимумом:

Полуфокальный параметр – гармоничное среднее между минимумом и максимумом:

Эксцентриситет – коэффициент вариации между минимумом и максимумом:

Площадь эллипса:

А = πab

Исключение –  ε = 0, из-за чего r = p = r_min = r_max = a = b и A = πr². Орбиты планет с очень маленькими эксцентриситетами могут быть аппроксимированы как круги.

---