Уравнение Бернулли: давление и скорость

Физика > Уравнение Бернулли: давление и скорость

При идеальном потоке вдоль линии тока без перемен в высоте, возрастание скорости связано с падением статического давления.

Задача обучения

• Подстроить уравнение Бернулли для потоков, выступающих нестационарными или сжимаемыми.

Основные пункты

• Согласно уравнению Бернулли, сумма механической, потенциальной и кинетической энергий вдоль потока остается стабильной. Поэтому увеличение одной формы приводит к уменьшению другой.
• Уравнение полагается лишь на давление и силу тяжести. Если нет перемен в высоте вдоль линии, то оно выступает балансом между статическим давлением и скоростью.
• Уравнение можно вывести через интегрирование второго закона Ньютона вдоль линии тока.

Термины

• Идеальная жидкость – невязкая и лишенная сжатия.
• Вязкость – величина внутреннего трения внутри жидкости. Вычисляется по силе на единицу площади, вступившей в сопротивление равномерному течению.
• Несжимаемые – не поддаются сжатию.

Использование уравнения Бернулли

Давайте разберемся, в чем смысл уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли описывает соотношение между давлением и скоростью в условиях идеальных жидкостей. Названо в честь Даниэля Бернулли. Он утверждает, что полная механическая энергия остается постоянной в лишенной вязкости и сжатости жидкости.

Полная механическая энергия бывает двух форм: потенциальная и кинетическая. Кинетическая сберегается в статическом (p_s) и динамическом давлениях ( 0.5 pV²). Единицей выступает паскаль.

Статическим называют давление в конкретной точке, а динамическое – кинетическое, умноженное на единицу объема. Получается, что без движения жидкость лишена динамического типа. Если потенциальная энергия вдоль линии тока не меняется, то полная энергия становится постоянной и выступает балансом между статическим и динамическим давлениями:

p_s + 0.5 pV² = постоянная.

Если заметны значительные перемены в высоте, а плотность жидкости слишком большая, то можно учитывать изменение потенциальной жидкости:

ΔPE = ρgΔh.

Мы добавляем еще один термин к версии дифференциального уравнения Бернулли для потока жидкости:

p_s + 0.5 pV² + ρgΔh = постоянная.

Вывод из уравнения

Уравнение можно добыть при помощи интегрирования второго закона Ньютона вдоль линии тока с силой и гравитацией. Все энергетические обмены осуществляются консервативными силами, поэтому полная энергия выступает стабильной и заменяется потенциальной и кинетической.

Применение

Можно использовать уравнение в ситуациях с сифонирующей жидкостью между двумя резервуарами. Также из него можно вывести закон Торричелли для потока и острого отверстия в резервуаре. В верхней части энергия известна, поэтому следует провести линию тока к точке выхода, где дано статическое давление и потенциальная энергия.

Сифоническая жидкость между двумя резервуарами. Скорость потока вычисляют через измерение линий тока от точки А к С

Адаптация уравнения

Уравнение можно перестроить для сжимаемых и нестационарных потоков. Но даже здесь сберегается предположение о лишенном вязкости потоке. Эффекты сжимаемости зависят от скорости потока по отношению к звуковой. Определяется числом Маха.

---