Устойчивость, равновесие и центр масс

Физика > Устойчивость, равновесие и центр масс

Объект в статическом равновесии остается навсегда в одном состоянии, но это не распространяется на все формы равновесия.

Задача обучения

• Разобраться во взаимосвязи между определением центра масс и статическим равновесием.

Основные пункты

• При равновесии отсутствуют чистые силы и моменты.
• Устойчивость равновесия определяется второй производной потенциала.
• Нахождение центра масс упрощает изучение поведения системы.
• Стабильное равновесие нуждается в силе восстановления. Ее можно получить через расширение силы Тейлора F(x).

Термины

• Центр масс (ЦМ) – единственная точка в центре распределения массы, окруженная взвешенными векторами относительно нулевой точки.
• Статической равновесие – физическое состояние, где все компоненты пребывают в состоянии покоя, а чистая сила приравнивается к нулю по всей системе.
• Устойчивое равновесие – реакция на небольшое возмущение. Это сила, стремящаяся вернуть равновесие.

Пример

Мост испытывает влияние силы и вращательных моментов, но способен оставаться в статическом равновесии. Главное то, что они отменяются. Если мы используем дополнительное условие, что вращательный момент должен отмениться, то получим дополнительные механизмы решения проблем. Если вы видите, что у системы нет линейного или углового ускорения, то это статическое равновесие.

Объект в статическом равновесии пребывает в состоянии покоя длительный период времени. Если замечается ускорение, то равновесие теряется. Для того, чтобы вывести равновесие в количество, есть два условия:

• чистая внешняя сила приравнивается к нулю: Σ_iF_i = F_net = 0
• чистый внешний вращательный момент также равен нулю: Σ_ir_i × F_i = Σ_iτ_i = τ_net = 0.

Эти два условия выполняются в любом случае. Равновесие подразумевает отсутствие перемен в линейном импульсе. Это не значит, что система лишена вращения или движения, просто сам процесс остается стабильным определенное время.

Если внешние силы определяются конкретным потенциалом, то можно понять, с каким равновесием мы столкнулись. Определение потенциала показывает, что

Когда первая производная приравнивается к нулю, можно взять вторую, чтобы определить устойчивость равновесия. Если потенциал вогнут в точках x₀,

, то система устойчива. Если же вторая производная приравнивается к нулю или ее вообще не существует, то равновесие нейтрально.

Математически можно использовать ряд Тейлора:

если же система изначально в равновесии, то:

Если мяч расположен в верхней части холма (потенциал направлен вниз), то может пребывать в идеальном равновесии. Однако толкните его, и он будет лететь вниз, увеличивая скорость.

Сначала мячик на вершине холма пребывает в равновесии, но при движении влево или вправо начнет набирать скорость, а равновесие потеряет устойчивость

Чтобы получить равновесие, чистые внешние силы должны приравниваться к нулю. Например, монетка способна балансировать на ровной поверхности. Сначала она не будет испытывать внешних сил, но если ее толкнуть, то упадет на пол. Тогда мы имеем дело с неустойчивым равновесием со склонностью к нарушению.

К чему все эти копания во внешних и внутренних силах? Все внутренние должны суммироваться к нулю. Это выплывает из третьего закона Ньютона: F₁₂ = -F₂₁. Каждый раз, когда мы рассматриваем силу частицы 1 на 2 внутри системы, мы знаем, что позже ее отменит соответствующая силой частицы 2 на 1.

Подобная дифференциация между внутренними и внешними силами отличается мощностью. У вас есть возможность отслеживать движение системы без включения перемещений внутри нее. Центр масс отображается в одной точке и ощущает влияние исключительно внешних сил. Его позиция определяется как:

Если же мы располагаем непрерывной плотность массы, то получим:

Центр масс скрывает детали того, что происходит внутри системы. Нам не всегда хочется разбираться в дополнительных данных и это отличное решение проблемы.

---