Синусоидальная природа простого гармонического движения

Физика > Синусоидальная природа простого гармонического движения

 

Рассмотрите распространение синусоидальных волн в простом гармоническом движении: закон Гука и синусоиды, уравнения для движения, графики синусоидальных волн.

Расчеты формул движения простых гармонических осцилляторов всегда выступают синусоидальными.

Задача обучения

• Проанализировать факторы, ответственные за синусоидальное поведение кругового перемещения.

Основные пункты

• В случае с простыми гармоническими осцилляторами формулы движения всегда выступают дифференциальными второго порядка, объединяющие ускорение и смещение.
• Решение дифференциального уравнения всегда выводит на синусоидальные результаты. К примеру, x (t), v (t), a (t), K (t) и U (t) располагают синусоидальными решениями для простого гармонического движения.
• Равномерное круговое движение также выступает синусоидальным, потому что его проекция ведет себя как гармонический осциллятор.

Термин

• Синусоидальные волны – в форме волны, где амплитуда выступает пропорциональной синусу переменной.

Почему синусоидальные волны так распространены?

Если построить системы массы на пружинке в виде графика, то он предстал бы в идеальной синусоидальной форме (на рисунке). Удивительно, но огромное количество лишенных связи вибрационных систем демонстрируют одинаковую математическую особенность. Есть главное условие – амплитуда движения должна быть небольшой.

Только верхний график выступает синусоидальным. Остальные меняются под влиянием амплитуды и периода, но не характеризуют простое гармоническое движение

Закон Гука и генерация синусоиды

Чтобы разобраться в вибрации тела, важно понимать, что сила зависит от позиции объекта. Если система подчиняется закону Гука, то восстанавливающая сила расположится в пропорциональном направлении смещению. Формула для расчета:

Отсюда вытекает решение для позиции, скорости и ускорения:

Все они принадлежат к синусоидальным решениям. Давайте присмотримся к массе на пружинке, где маленькая ручка перемещается по смещающейся полосе бумаги.

Вертикальная позиция объекта, прыгающего на пружинке, записывается на полосе перемещающейся бумаги, что формирует синусоидальную волну

Уравнения можно переписать для конкретного случая:

Проекцию равномерного кругового движения можно описать как и гармонический осциллятор. Поэтому оно выступает синусоидальным.

Позиция проекции равномерного кругового движения осуществляет простое гармоническое движение в графике х, основываясь на t

Мгновенная энергия простого гармонического движения

Уравнения можно объединить с синусоидальным расчетом для x(t), v(t) и a(t), чтобы смоделировать перемены кинетической и потенциальной энергий.

Кинетическая энергия K в момент t:

Для потенциальной U:

Если их прибавить, то получим общую механическую энергию:

---