Фазовый вектор

Физика > Фазоры

 

Читайте про фазовый вектор в фазовом пространстве системы: категории векторов и коэффициент частоты, косинусоидальная волна, роль амплитуды и периода колебаний.

Фазоры используют для анализа электрических систем в синусоидальном стационарном состоянии с равномерной угловой частотой.

Задача обучения

• Разобраться в понятии фазового вектора.

Основные пункты

• Фазор отображает синусоидальную функцию, чьи амплитуда (А), частота (ω) и фаза (θ) являются временными. Если ω разделяется всеми компонентами системы, то ее можно убрать, оставив только A и ω.
• Фазоры уменьшают сложность уравнений синусоидально меняющихся сигналов.
• Фазоры можно использовать для анализа поведения электрических систем, пребывающих в синусоидально устойчивом состоянии.
• С помощью фазоров можно применить методы, которые используют при решении схем постоянного тока.

Термины

• Синусоидально устойчивое состояние – каждое напряжение и ток в системе выступают синусоидальными с одной угловой частотой.
• Комплексные числа – числа с мнимой частью (i).
• Фазор – представление комплексного числа в терминах комплексной экспоненты.

Комплексные числа играют важную роль в физике. Чаще всего они записываются в терминах их действительной части, плюс мнимая. К примеру, а + bi, где a и b –действительные числа, i – мнимая часть.

Фазовый вектор (фазор) – представление синусоидальной функции, где амплитуда (А), частота (ω) и фаза (θ) выступают нестационарными по времени. Фазовые векторы делят на три категории, основываясь на этих показателях, потому что частотный коэффициент часто выступает общим для всех компонентов линейной комбинации синусоид. В таких ситуациях можно оставить только A и θ.

Пример последовательной схемы и соответствующей фазовой диаграммы для конкретной ω. Специалисты используют подобные диаграммы фазора для визуализации сложных постоянных и переменных. Стрелки отображают фазоры

Фазоры часто используют в электрике при рассмотрении напряжений, которые меняются синусоидально по времени.

Определение

Синусоиды можно отобразить математически в виде суммы двух комплексных функций:

Или как действительная часть одной из функций:

Фазовое представление сигналов

В нем заключается две идеи:

• реальный, меняющийся во времени сигнал может отображаться сложным меняющимся во времени сигналом.
• сложный, меняющийся во времени сигнал может отображаться произведением комплексного числа, на которое не влияет время, и сложного числа, на которое влияет время.

Сигнал:

x(t) = Acos(ωt + θ)

На нижнем рисунке показан косинусоидальный сигнал с амплитудой A, частотой и фазой θ. Амплитуда характеризует колебание между пиками (2A), угловую частоту и период T = 2π/ω между отрицательными и положительными переходами нуля, а фаза θ – время Τ = -θ/ω, когда сигнал достигает своего первого пика. В таком виде сигнал записывают как

x (t) = Acos (t - τ).

Когда τ положительно, то выступает «временной задержкой», описывающей время (больше нуля), когда достигается первый пик. Когда τ отрицательно – «временный прогресс», который описывает время (меньше нуля), когда достигнут последний пик. При подстановке = 2π/T, получим третий способ записи

x(t) = Acos 2π/T (t - τ).

В таком виде сигнал намного легче построить. Просто отобразите косинусоидальную волну с амплитудой и периодом. Потом уберите начало. В итоге, мы видим параметры со следующими единицами:

• A – произвольные (вольт или метры в секунду).
• Ω – в радианах/сек.
• T – в секундах.
• Θ – в радианах.
• Τ – в секундах.

Синусоидально устойчивое состояние можно использовать для анализа поведения электрических и механических систем, достигших баланса – синусоидальное стабильное состояние.

В таком положении каждое напряжение и ток выступают синусоидальными с угловой частотой. Но их амплитуды и фазы отличаются. К примеру, напряжение на резисторе может привести к показателю напряжения на конденсаторе в 90° и задержать на индукторе на 90°. Можно рассмотреть подобную схему на рисунке. Стрелка с отметкой i(t) – ток, протекающий в ответ на приложенное напряжение.

Будем полагать, что источником напряжения выступает звуковой генератор:

V (t) = Acos (ωt + θ).

Мы представляем это напряжение как комплексный сигнал:

V (t) ↔ Ae^iθ ⋅ e^iωt.

Фазовое отображение:

V (t) ↔ V, V = Ae^iθ.

Далее описываем источник напряжения на фазоре V и не забываем, что всегда можем определить фактическое напряжение, умножив на e^iωt и получив действительную часть.

---