Движение центра масс

Физика > Движение центра масс

Можно описать поступательное движение твердого объекта так, словно оно выступает точечной частицей с общей массой, пребывающей в центре масс.

Задача обучения

• Вывести центр масс для поступательного движения.

Основные пункты

• Общая масса ускорения приравнивается к сумме внешних сил.
• Для поступательного объекта с массой М второй закон Ньютона применяется, словно мы характеризуем смещение точечной частицы, поддавшейся влиянию внешней силы.
• Если нет внешней силы, импульс центра масс сберегается.

Термины

• Центр масс (ЦМ) – единственная точка в центре распределения массы, относительные векторы которой приравниваются к нулю.
• Жесткое тело – идеализированное твердое тело, чьи размер и форма остаются стабильными при воздействии сил. Его используют в механике Ньютона для моделирования реальных объектов.

При описании поступательного движения, можно воспринимать его как точечную частичку с общей массой, расположенной в центре масс (ЦМ). Здесь мы докажем, что полная масса (М) приравнивается к суммированию внешних сил:

Можно заметить, что второй закон Ньютона используется так, словно мы описываем смещение точечной частички под влиянием внешней силы.

Происхождение

Из определения

мы получаем M ⋅ a_COM = Σm_ia_i, отобразив производную по времени дважды с каждой стороны.

Отметьте, что Σm_ia_i = ΣF_i.

В системе каждая частица способна испытывать на себе внешние и внутренние силы. Суммирование всех внутренних приравнивается к нулю (третий закон Ньютона) – ΣF_i = Σ F_i,ext, поэтому получаем M ⋅ a_COM = ΣF_ext.

Если мы ограничим систему планетой и Луной, то гравитация Солнца станет внешней, а лунная и земная – внутренними. Гравитационные силы между планетой и спутником равны по величине и расположены в противоположных направлениях, поэтому будут компенсировать друг друга.

Земля и Луна совершают обороты вокруг ЦМ внутри планеты. Красный крестик – ЦМ системы двух тел. ЦМ будет вращаться вокруг Солнца так, словно это точечная частичка

В итоге

Импульс ЦМ сберегается, если нет внешней силы.

Доказательство: внешняя сила отсутствует, поэтому M ⋅ a_COM = 0. Отсюда:

M ⋅ v_COM = константа.

---