Динамика равномерного кругового движения

Физика > Динамика равномерного кругового движения

Универсальный закон тяготения Ньютона утверждает, что каждая частица притягивает другую силой вдоль объединяющей их линии.

Задача обучения

• Объединить законы Кеплера с универсальным законом тяготения Ньютона.

Основные пункты

• Гравитация прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату дистанции между ними.
• Кеплер вывел законы, объясняющие планетарное движение, опередив Ньютона и основываясь на наблюдениях Тихо Браге.
• Законы Кеплера можно добыть из универсального закона тяготения Ньютона и его уравнения движения.

Термины

• Астероид – естественный твердый объект, уступающий по размерам планете и не выступающий кометой. Вращается вокруг звезды.
• Планета – крупное тело, совершающее обороты по стабильному орбитальному пути вокруг звезды, но не достигшее ядерного синтеза.

Универсальный закон гравитации Ньютона

Как выглядит закон всемирного тяготения Ньютона? Каждая вселенская частица притягивает другие силой вдоль объединяющей их линии. Сила тяжести становится прямо пропорциональной произведению масс и обратно пропорциональной квадрату разделяющей их дистанции. Для двух объектов с массами m и M формула закона всемирного тяготения выглядит так:

Гравитация отвечает за вращение искусственных спутников вокруг нашей планеты. Среди прочих орбитальных путей можно вспомнить лунную, других планет, астероидов, комет и Солнца. Кеплер вычислил три закона до Ньютона. Его работа состояла в 20-летнем исследовании наблюдений Тихо Браге.

Законы Кеплера

• Орбита каждой солнечной планеты представляет собою эллипс с Солнцем в центре.
• Каждая планета перемещается так, что воображаемая линия от нее к звезде создает равную площадь в равные временные промежутки.
• Отношение квадратов периодов любых двух планет равняется соотношению кубов их средних дистанций от Солнца.

Затененные области обладают равными площадями. Для m необходимо одинаковое время для перехода от А к В, от С к D и от E к F. Масса движется быстрее, когда подходит ближе к Второму закону. Изначально она разрабатывалась Кеплером для планет, совершающих обороты вокруг Солнца, но сейчас распространена на других системах

(А) – Эллипс выступает замкнутой кривой, поэтому сумма дистанций от точки на кривой к двум фокусам (f1 и f2) считается постоянной. Можно изобразить эллипс, разместив циркуль в каждый фокус и переместив карандаш по линии. В круге оба фокуса совпадают (любая точка окружности равняется дистанции от центра). (B) – Любая замкнутая гравитационная орбита следует по эллиптическому пути с M в фокусе. Согласно первому закону Кеплера, это срабатывает для планет, совершающих вращение вокруг Солнца

Третий закон Кеплера для круговых орбит

Третий закон Кеплера выражается в формуле:

T – период (время прохода одной орбиты), а r – средний радиус. Третий закон Кеплера можно вывести с законов движения Ньютона и универсального закона тяготения. Чтобы все упростить, будем основываться не на эллипсе, а круге.

Рассмотрим орбиту малой массы вокруг большой. Гравитация создает центростремительную силу массой (m). Получаем уравнение:

Масса (m) отменяется, поэтому:

Теперь необходимо получить период T. Это время на одну полную орбиту. Средняя скорость (v) ­– окружность, деленная на период:

Подставляем в предыдущее уравнение и получаем:

Решение для T² дает:

Так как T² пропорционально r³, то их соотношение выступает постоянным. Это и есть третий закон Кеплера.

---